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Tips:滾動軸承,接觸壓力,
本文示給出滾動體接觸壓力的計算方法和其它適用于航空直升機齒輪箱軸承滾道計算的有效參數。該齒輪箱的結構為利用混合方法進行模擬計算，將各零件分解為多個有限元，軸承則由替代性特征進行描述。利用該混合方法能夠闡述零件柔性和幾何缺陷。在此方法中根據分析解決了滾動體與滾道間的接觸問題，并利用赫茲接觸理論計算接觸狀況。由于模型中包含有幾何缺陷，從而變更了局部位移值。文章給示出不同機械零件柔度及其幾何缺陷對軸承滾道狀況的影響。并提出三個重要結論：第一，零件和軸承滾道的柔性可修正軸承的載荷分布。第二，組件中的定位缺陷對軸承工作壽命的影響作用不大。第三，定位缺陷增大了滾子軸承的壓力以及球軸承的球軌道速度的變化。
摘要
本文示給出滾動體接觸壓力的計算方法和其它適用于航空直升機齒輪箱軸承滾道計算的有效參數。該齒輪箱的結構為利用混合方法進行模擬計算，將各零件分解為多個有限元，軸承則由替代性特征進行描述。利用該混合方法能夠闡述零件柔性和幾何缺陷。在此方法中根據分析解決了滾動體與滾道間的接觸問題，并利用赫茲接觸理論計算接觸狀況。由于模型中包含有幾何缺陷，從而變更了局部位移值。文章給示出不同機械零件柔度及其幾何缺陷對軸承滾道狀況的影響。并提出三個重要結論：第一，零件和軸承滾道的柔性可修正軸承的載荷分布。第二，組件中的定位缺陷對軸承工作壽命的影響作用不大。第三，定位缺陷增大了滾子軸承的壓力以及球軸承的球軌道速度的變化。
1 簡介
在飛機制造業尤其是在直升機制造中，研究如何提高飛機性能的同時降低飛機本身重量非常必要。這樣重達300kg的傳動齒輪箱就可以傳送若干瓦的機械動力（圖1）。
通常利用減少零件數量和零件厚度的方法，減輕該類型直升機傳動齒輪箱的重量。在滾動體的轉動引導圈上，通過將某些傳統軸承的滾道更換成與軸或軸承座一體的軸承滾道而減少其厚度來實現減輕重量的目的。圖2示出一體化滾道軸承齒輪。該類型結構可部分減輕重量，但是，從另一方面而言，由于其表面的復雜性和高質量的幾何形狀，使得制造該零件的費用更高。
本文就幾何缺陷對載荷狀態下一體化滾道軸承的影響進行了研究。為實現該目標，有必要建立該系統的完整模型以說明：零件的剛度、施加在軸承座上的外部載荷、軸承游隙、接觸特性和幾何性缺陷。直升機和軸承制造商的經驗表明：滾動體和滾道的接觸壓力是影響一體化滾道及其可靠性運行狀況的標準條件之一。在滾道遭受嚴重變形的球軸承中，如果滾動體的轉速受到影響而變化，還會波及影響到其保持架的疲勞強度。實際上，在軸承的旋轉中，如果所有的球均不以保持架的速度旋轉，那么將容許一些球來補償空隙的反彈（保持架與球之間的游隙）。這種動力學的不兼容性可能會在保持架上產生應力，或在最弱載荷處的球體與滾道之間的接觸點處發生滑動。為了確定各軸承內部的不同壓力和角度（只針對球軸承），有必要識別鑒定局部載荷分布。
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術語
α UiZ平面接觸角
D 滾動體直徑
Dm 軸承節圓直徑
F 向軸承施加的載荷
Fc 離心力
J 直徑游隙
K 替代體的等效剛度
Kh 球與滾道之間的接觸剛度
L 滾子長度
M 力矩
Q 滾動體和滾道間的接觸載荷
r 溝道半徑
R 滾動半徑
U 在滾動體i附近的內滾道和外滾道之間的位移
Ui，Vi，Z 球i的笛卡爾坐標，因此XY平面中ψ=（X，Ui）=（Y，Vi）
Vi 球i中心的軌道速度
VA 內滾道A點的切線速度
VB 內滾道B點的切線速度
X，Y，Z Z-軸與軸承旋轉軸重合，X-軸與徑向載荷方向一致時的笛卡爾坐標
δ 接觸位移
θi 在滾子i附近內滾道與外滾道的偏轉角
ψi XY平面的方位角
ω 角速度
下標
a 指軸向
h 指赫茲接觸
i 指滾動體i
ir 指內滾道
or 指外滾道
r 指徑向
λ 指Laminum 位置
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在過去100年中，很多研究者都針對滾動軸承的運行狀況進行了研究。Stribeck教授是最早發表軸承內部載荷相關論文的科學家之一。在他的報告中[1]提出結合赫茲接觸理論和若干系列測試來研究球-滾道接觸，并獲得施加于軸承上的總徑向載荷與影響滾動體的最大載荷之間的方程式。他的研究成為用來計算基本靜載荷的ISO76標準[2]的基礎。Lundberg和Palmgren[3]研究了軸承的疲勞運行狀況，從而創建了軸承尺寸的測量標準。該研究有助于建立ISO281標準[4]。在20世紀中期，借助Jones[5]和Harris[6]的研究，人們對軸承行為的相關認識獲得了巨大進步。他們的研究著眼于軸承的靜態和動態行為。Harris[6]所提出的方法基于“軸承中的位移僅由接觸區域的游隙和局部變形導致”這一假設。但如果軸承滾道較淺，則該假設即不成立。當滾道與軸或軸承座為一體結構時滾道會更淺-而航空軸承恰恰屬于這種情況。在Harris和Jones[7]的研究中引入了解釋空轉齒輪外圈變形的柔度系數，從而修正了傳統的Harris法。空轉齒輪的滾道正位于齒輪齒的下方，與空轉齒輪為一體化結構。Zupan和Prebil[8]推廣使用有限元分析法來計算結構的柔度矩陣以說明結構發生總體變形的原因。但是由于剛度矩陣的反轉所需時間長，因此柔度矩陣的計算受到結構規格所限。為解決這一難題，Hauswald 和Houpert[9]使用了矩陣壓縮技術（在結點鏈接處壓縮矩陣剛度）。Bourdon等人[10]開發出解釋總體變形原因的混合模型，該模型結構中的傳統元素由固定在兩套圈上的非線性元素所替代的各軸承滾子或球體共同構成。在Lovell等人[11]的研究中采用FEM模擬球體和兩平行板的接觸，最后發現結果與采用赫茲理論所獲得的結果接近。Zhao[12]使用2D接觸FEM來計算承受徑向載荷軸承的載荷分布。Kang等人[13]提出以采用FEM對局部接觸進行建模為基礎，修正赫茲接觸規律。Ludwik[14]也使用了與此相類似的方法來描述滾子和滾道接觸行為的特征。從這些結果中，Ludwik通過將接觸點替換為表現非線性行為的元素進行轉盤軸承的建模。
據文獻記載，采用三種方法建模：分析法、數字法和混合法。航空應用中采用何種機械結構和何種軸承類型是非常關鍵的，它能夠說明零件發生總體變形的原因。事實上約30%的內外滾道之間的相對位移是由零件變形引起的（滾道呈橢圓形、軸承座變形等）。平均來說，直升機的一體化滾道軸承中：70%內外滾道之間的相對位移是由于滾動體/滾道之間的局部接觸變形造成的；20%是由外滾道和軸承座的變形所引起；10%是由軸（與內圈為一體結構）變形所導致。我們先前的研究[15,16]示出并詳細敘述了可用于研究直升機齒輪箱用一體化滾道軸承的兩種方法論。并研究了以FEM為基礎，用于處理滾道和滾動體接觸情況的數值法，優化結構的網格結構以降低計算時間至最低。提出了混合法（分析—數值），并用FEM進行計算。在該方法中將接觸點更換為替代體。現在，我們工作的總目標是提出一個計算一體化滾道軸承的滾道接觸壓力和接觸角的方法，不僅包括機械結構的零件變形，還包括零件的幾何缺陷。該方法必須結合工業CAD軟件程序共同完成。因此本文中，我們將具體闡述提及的幾何缺陷的混合方法，并把直升機齒輪箱的組件作為個案分析。隨后預測幾何缺陷和變形對機械結構的軸承和其它零件所產生的影響。針對這類軸承我們將主要關注接觸壓力的變化和滾動體的滾道速度。
2 混合數值法
2.1 原理和假設
本文通過FEM實現對齒輪箱的建模。由于齒輪箱的各種零件是通過機械連接彼此關聯，因此要模擬整個機械結構的行為，必須對這些機械連接進行建模。于是我們在由滾動體連接的情況下，建立了說明各滾動體非線性行為和載荷分布的模型。我們將滾道與滾動體的接觸狀況更換為替代元素，將軸承簡化為僅由其外圈替代，使這些替代元素和內滾道與軸集成在一起。通過這些模型可計算出內平衡，用來說明軸承內部幾何形狀、接觸可變形性、軸承滾道、軸和軸承座的情況。
本文所示方法論并不說明動態載荷和摩擦力。但這些因素在本研究的齒輪箱的條件下可以忽略不計。2.4部分示出由動態載荷對接觸壓力和球軌道轉速所導致的誤差。潤滑油的作用同樣忽略不計。本文中不考慮小幾何缺陷（表面粗糙度、壓痕等），只研究大幾何缺陷（方位、未對準）。由于該裝置的損傷由高周期疲勞所致，零件僅發生彈性變形，因此表面硬度的影響非常微小。建立該裝置模型的環境為穩態條件（恒溫）并考慮熱膨脹因素以降低軸承的運行游隙。在FEM的臨界狀態下施加了預載荷，通過位移或對軸承施加載荷來施加預載荷。示出的方法計入CATIA FEM，這樣我們即可這種機理的幾何模型保持關聯性。
2.2 計算步驟
在計算過程中通過FEM建立完備系統的分辨率，并對接接觸行為的分析計算。采用CATIA V5 FEM完成整個模型，該模型機理的不同零件由線性四面體元構成。為了使模型補足的更為精準，采用“SAMCEF”這種元素軟件足以用于研究滾動軸承的行為和位移場。建模至少使用了100,000個節點。材料的行為特性為線性狀況。圖3示出滾道和替代體連接區的網格圖。替代體通過約3平方毫米的面積與滾道相連接。連接區的局部變形計入微積分計算中。
圖4流程圖中示出計算的詳情。在各迭代中進行了含有替代體的FEM計算，并重新計算替代體（硬度、方位）的變量。可假設當兩個連續步驟之間替代體的硬度變量小于0.1時獲得收斂集合。計算替代體的分析法是根據參考文獻[6]中的Harris方程。各替代體元素的特征由CATIA V5中的VB宏控制。對于各替代體，在各迭代中解析計算的輸入數據為附著連接區域在持續載荷下的相對位移，此外，可另加入軸承的幾何缺陷。從這些數據中也許可確定局部接觸位移和載荷方向。球軸承和滾子軸承的解析模數與替代體的不同，在下文中將詳細介紹球軸承和滾子軸承的計算步驟。
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